Category Archives: គណិតវិទ្យា

លំហាត់តម្លៃដាច់ខាត – Absolute Value

______________________________________________________________________________________

កាត់ចេញពីសៀវភៅ « 3000 Solved Problems in Calculus»

លំហាត់ធរណីមាត្រកូអរដោនេ (Coordinate Geometry)

1. គេឲ្យចំនុចនឹងពីរ​ A(1; - 2);B(3;1) ។ រកសំណុំចំនុច P ដែលមានចំងាយស្មើពីចំនុច A និង B

2. គេឲ្យបីចំនុច O(0;0);A(4;0);B(1;5) ។ រកកូអរដោនេនៃចំនុចដែលមានចំងាយស្មើគ្នាពី O;A;B

3. \vartriangle ABC ដែល M  ចែក BC ខាងក្នុងតាមផលធៀប 1:2 ។ ប្រើកូអរដោនេបង្ហា្ថញថា 2A{B^2} + A{C^2} = 3A{M^2} + 6B{M^2}

4. គេឲ្យបីចំនុច A({x_1};{y_1});B({x_2};{y_2});C({x_3};{y_3}) ដែលជាកំពូលត្រីកោណ ABCG ជាទីប្រជុំទំងន់ត្រីកោណ ABC​ ។ស្រាយថាកូអរដោនេ G គឺ​ \displaystyle \left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3};\frac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3}} \right)

5. \vartriangle ABC ដែល D;E;F ជាចំនុចកណ្តាលរៀងគ្នានៃជ្រុង BC;CA;AB ដែល BD:DC=CE:EA=AF:FB ។ បង្ហាញថាទីប្រជុំទំងន់ត្រីកោណ ABC និង DEF ត្រួតស៊ីគ្នា។

6. រកសមីការរង្វង់ដែល៖

  • ក) មានផ្ចិត (-4;3) និងកាត់តាមគល់តម្រុយ
  • ខ) មានផ្ចិតនៅលើបន្ទាត់ y=-x ហើយកាត់តាមចំនុច (2;0);(0;4)

7. រកក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណមួយដែលខណ្ឌ័ដោយបន្ទាត់បី x+y-7=0 ; 2x-2y-1=0 និង x-4y+3=0

8. គេឲ្យបីចំនុច A({x_1};{y_1});B({x_2};{y_2});C({x_3};{y_3}) ហើយ G({x_0};{y_0}) ជាទីប្រជុំទំងន់ត្រីកោណ ABC និងចំនុច P(x;y) ។ ស្រាយថា P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} = 3P{G^2} + A{G^2} + B{G^2} + C{G^2}

9. បង្ហាញថាគ្រប់រង្វង់ទាំងអស់មានសមីការ {x^2} + {y^2} + Dx + Ey + F = 0

10. បង្ហាញថា ប្រសិនបើបន្ទាត់ L មានសមីការ Ax + By = C  នោះបន្ទាត់ M ដែលកែងនឹង L មានសមីការ - Bx + Ay = E

 

លំហាត់វ៉ិចទ័រសម្រាប់ថ្នាក់ទី10

កំពុងរៀបចំ

 

 

 

ដោះស្រាយសមីការ

ដោះស្រាយសមីការ ខាងក្រោម-Solve the following equation :

1. \displaystyle {2^{{{\cos }^2}x}} + {2^{{{\sin }^2}x}} = 3

2. \displaystyle {(\sqrt {5 + \sqrt {24} } )^x} + {(\sqrt {5 - \sqrt {24} } )^x} = 10

3. \displaystyle {4^{\sin 2x + \frac{1}{2}}} - 3 \times {2^{\sin x}} + 1 = 0

4. \displaystyle {3^{\sin 2x + 2{{\cos }^2}x}} + {3^{1 - 2\sin 2x + 2{{\sin }^2}x}} = 28

5. \displaystyle 5{\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + 4 \times {5^{\cos 2x}} = {25^{\frac{1}{2}\sin 2x}}{\left( {\sqrt x } \right)^x} = {x^{\sqrt x }}

6. ក). \displaystyle {\left| {{x^2} - x - 1} \right|^{{x^2} - 1}} = 1   ;   ខ). {\left| {x - 3} \right|^{{x^2} - x}} = {(x - 3)^2}

7.  \displaystyle {\cos ^9}x + {\sin ^9}x = 1

8.  \displaystyle {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} = 78\left( {x + \frac{1}{x}} \right)

9.  \displaystyle {2^{\sqrt {1 + x - 3y} }} + {3^{\sqrt {2x - 4y + 1} }} = 2

10.  \displaystyle \frac{{\root 7 \of {x - \sqrt 2 } }}{2} - \frac{{\root 7 \of {x - \sqrt 2 } }}{{{x^2}}} = \frac{x}{2} \times \root 7 \of {\frac{{{x^3}}}{{x + \sqrt 2 }}}

12.  \displaystyle {x^{\sqrt x }} = \sqrt {{x^x}}

13.  \displaystyle {(x - 1)^6} + {(x - 2)^6} = 1

14.  \displaystyle {x^3} + 1 = 2\root 3 \of {2x - 1}

15.  \displaystyle {9^{{x^2} - x}} + {3^{1 - {x^2}}} = {3^{{{(x - 1)}^2}}} + 1

_______________________

លំហាត់លើចំនួន

1.  ឧបមាថា a,b\& c គឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមានដែលអាចចែកដាច់នឹង 3 មានសំណល់ 0  .  1 និង 2 រៀងគ្នា។ ចូររកសំណល់នោះនៅពេលចែក

a + 2b + c និង {c^2} - c នឹង 3 ។

2.  បង្ហាញថា បើ m គឺជាចំនួនគត់រ៊ឺឡាទីប នោះ {m^2}  អាចចែកដាច់នឹង 3 ឬអាចចែកដាច់នឹង 3 ដែលមានសំណល់មួយ។

3.  ស្រាយបញ្ជាក់ថាផលគុណនៃចំនួនគត់ជាប់ពីរគឺជាចំនួនគូ។

4.  ស្រាយបញ្ជាក់ថាផលគុណនៃចំនួនគត់ជាប់បីគឺជាពហុគុណនៃ 6។

5.  ចំពោះចំនួនគត់វិជ្ជមាន m និង n ស្រាយបញ្ជាក់ថា {m^3}n - m{n^3} ជាពហុគុណនៃ 6 ។

6.  ចំពោះចំនួនគត់វិជ្ជមាន n ស្រាយបញ្ជាក់ថា {n^5} - n ជាពហុគុណនៃ 30 ។

7.  ចំពោះចំនួនគត់វិជ្ជមាន n ស្រាយបញ្ជាក់ថា {n^7} - n គឺជាពហុគុណនៃ 7 ។

___________________________

លំហាត់លើវិសមភាព

1. គេឲ្យ a,b,c,d ជាចំនួនវិជ្ជមាន ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖

    • ក) \displaystyle \frac{{a + b + c + d}}{4} \geqslant \root 4 \of {abcd}
    • ខ) \displaystyle \frac{{a + b + c}}{3} \geqslant \root 3 \of {abc}

2.  ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖ {a^2} + {b^2} + 1 \geqslant ab + a + b

3. ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖ {a^2}(1 + {b^2}) + {b^2}(1 + {c^2}) + {c^2}(1 + {a^2}) \geqslant 6abc

4.  បើ \cos x \geqslant 0 ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖

  • ក) \cos x \geqslant \cos 2x
  • ខ) \cos x \geqslant \cos 3x

5.  ស្រាយថា ចំពោះ a > 0,b > 0,c > 0 គេបាន៖  6abc \leqslant ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) \leqslant 2({a^3} + {b^3} + {c^3})

6. a,b,c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយ ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖ abc \geqslant (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)

7.  ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖ \displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times ....... \times \frac{{2n + 1}}{{2n}} \leqslant \frac{1}{{\sqrt {2n} }}

8.  ស្រាយបញ្ជាក់ថា បើ \left| a \right| > 2\left| b \right| នោះគេបាន \left| a \right| < 2\left| {a - b} \right|

9. a > b > 0 និង m > n(m,n \in {\Bbb N}) ស្រាយបញ្ជាក់ថា \displaystyle \frac{{{\text{ }}{a^m} - {\text{ }}{b^m}}}{{{\text{ }}{a^m} + {\text{ }}{b^m}}} > \frac{{{\text{ }}{a^n} - {\text{ }}{b^n}}}{{{\text{ }}{a^n} + {\text{ }}{b^n}}}

10.  គេឲ្យ x + y = 1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖  \left| {2x + 3y} \right| \leqslant \sqrt {13}

11. A,B,C ជាមុំក្នុងត្រីកោណមួយ ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖

  • a).\sin A + \sin B + \sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}
  • b).\sin A \times \sin B \times \sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{8}
  • c).\sin \frac{A}{2} \times \sin \frac{B}{2} \times \sin \frac{C}{2} \leqslant \frac{1}{8}
  • d).\cos A + \cos B + \cos C \leqslant \frac{3}{2}
  • e).\cos A \times \cos B \times \cos C \leqslant \frac{1}{8}
  • f).{\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C \leqslant \frac{9}{4}
  • g).\cos \frac{A}{2} + \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{C}{2} \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{8}
  • h).\cos A + \cos B + \cos C > 1
  • i).t{g^2}\frac{A}{2} + t{g^2}\frac{B}{2} + t{g^2}\frac{C}{2} \geqslant 1

12.  ប្រៀបធៀបចំនួន៖ \frac{{8.000009}}{{{{7.000009}^2} + 8.000009}} និង \frac{{8.000007}}{{{{7.000007}^2} + 8.000007}}

សាកគិតលំហាត់ទាំងនេះមើល៎…

I. គេធ្វើអង្កេតពីការអានទស្សនាវដ្តី ៣: a , b , c បានលទ្ធផលដូចតទៅ: ក្នុង 1000 នាក់ មាន 600 នាក់អាន a    500 នាក់ អាន b ​​   500 នាក់អាន c    200 នាក់ អាន b និង c     300 នាក់ អាន c និង a     300 នាក់អាន a និង b ហើយ 100 នាក់អាន a, b, c។ តើក្នុង 1000 នាក់នេះ មានប៉ុន្មាននាក់អានទស្សនាវដ្ដី 2 គត់?

II. នៅវិទ្យាល័យមួយមានសិស្ស 800 នាក់បានចុះឈ្មោះរៀន ភាសាអង់គ្លេស សិស្ស 500 នាក់ចុះឈ្មោះរៀនភាសាបារាំង និងសិស្ស 200 នាក់ចុះឈ្មោះរៀនភាសាទាំងពីរ។

    1. តើសិស្សទាំងអស់ប៉ុន្មាននាក់បានចុះឈ្មោះរៀនភាសា?
    2. តើសិស្សប៉ុន្មាននាក់រៀនតែភាសាអង់គ្លេស?
    3. តើសិស្សប៉ុន្មាននាក់រៀនតែភាសាបារាំង?

                                                                  ________________________________

លំហាត់ធរណីមាត្រកែអផ្សុក

1. គេឲ្យត្រីកោណ ABC មួយមាមុំទាំងអស់ជាមុំស្រួច និងកំពស់ CE និង BD។ រង្វង់អង្កត់ផ្ចិត AB កាត់ CE ត្រង់ M និង N ។ រង្វង់អង្កត់ AC កាត់ (BD) ត្រង់ P និង Q។ បង្ហាញថាបួនចំនុច M; N; P និង Q នៅលើរង្វង់តែមួយ។

2. គេឲ្យត្រីកោណកែងសមបាត ABC មួយកំពូល C។ D ជាចំនុចមួយនៅលើជ្រុង AC ហើយ E ជាចំនុចមួយនៅលើជ្រុង CB ដែល CD=CE។ តាម D និង C គូសបន្ទាត់កែងនឹង AE រៀងគ្នាកាត់ AB ត្រង់ K និង L ។ បង្ហាញថា KL = LB។

3. គេឲ្យត្រីកោណ ABC មួយដែល BC>CA>AB។ D ជាចំណុចមួយនៅលើ BC ហើយ E ជាចំនុចមួយនៅលើបន្លាយ AB ដែល BD = BE = AC ។ រង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ BED កាត់ AC ត្រង់ P ហើយរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC កាត់ BP ត្រង់ Q។ បង្ហាញថា AQ + CQ = BP ។

4. គេឲ្យ ∆ ABC មួយមាន BM និង AL ជាកំពស់នៃត្រីកោណហើយ P ជាអរតូសង់។ D ជា​ចំនុច កណ្ដាលនៃ AB ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា DM = DL ។

5. ត្រីកោណកែងសមបាត ABC មួយមានកំពូល A ។ M ជាចំនុចមួយនៅលើអ៊ីប៉ូតេនុស BC​ ។​​  ស្រាយបញ្ចាក់ថា AM² = BM² + MC² ។

6. ក្នុងចតុកោណព្នាយសមបាត ABCD មួយ មានអង្កត់ទ្រូង [AC]  កែងនឹងជ្រុងទ្រេត [BC]  គេដឹងថា​: AC = 8 cm  , AD = 6 cm ។ គណនាក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណព្នាយសមបាតនេះ។

7. គេឲ្យចតុកោណ ABCD មួយចារឹកក្នុងរង្វង់។ ចំនុច IA ; IB  ; IC និង ID ជាផ្ចិតរង្វង់ចារឹក​ក្នុងរៀង​គ្នានៃត្រីកោណ ΔBCD ; ΔACD ; ΔABD និង ΔABC។ បង្ហាញថាចតុកោណ​ IAIBICID ជា​ចតុកោណ​កែង។

8. គេឲ្យការេ ABCD មួយមានអង្កត់ទ្រូងប្រសព្វគ្នាត្រង់ E។ តាម B គេគូសបន្ទាត់មួយកែងនឹងកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំ ∠ACD កាត់ AC ត្រង់ P ហើយកាត់ CD ត្រង់ Q។ បង្ហាញថា DQ = 2PE ។

9. តាង BD ជាកន្លះបន្ទាត់ពុះមុំក្នុងនៃមុំ ∠B របស់ត្រីកោណ ABC មួយ​ដែល D នៅលើជ្រុង CA។ រង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ BCD កាត់ AB ត្រង់ E ហើយរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABD កាត់ BC ត្រង់ F។​ បង្ហាញថា AE = CF

10. គេឲ្យត្រីកោណ ABC មួយ និងការេពីរ ABDE និង ACFG នៅក្រៅត្រីកោណនោះ។ H ; K និង I ជាចំណុចកណ្តាលរៀងនៃជ្រុង EB ; BC និង CG។ បង្ហាញថាត្រីកោណ IKH ជាត្រីកោណកែង។

11. គេឲ្យត្រីកោណ ABC មួយនិងចំនុច D ; E និង​ F ជាចំនុចកណ្តាលរៀងគ្នានៃអង្កត់ AC ; AB និង BC។ BG ជាកំពស់ត្រីកោណ ABC។ ស្រាយបំភ្លឺថា ∠EGF = ∠EDF ។

12. BE និង AD ជាកំពស់នៃត្រីកោណ ABC ហើយ H ជាអរតូសង់។ F ; G និង K ជាចំណុចកណ្តាលរៀងគ្នានៃ AH ; AB និង BC។ បង្ហាញថា ∠FGK = 90°។

13. គេឲ្យត្រីកោណ ដែល AB = c , AC = b , BC = a ។​ D​ ; M ; N ជាជើងនៃ​កន្លះបន្ទាត់​ពុះ​មុំ ទាំងបីនៃត្រីកោណដោយដឹងថា AD = x  ;  BM = y  ;  CN = z ។​ ចូរស្រាយបំភ្លឺថា

ធរណីមាត្រ

គិតសាកលមើល!!!!!!

គណិតវិទ្យា

មើលរូបវិទ្យាយូរៗទៅ វាដូចជាចង់ភ្លេចគណិតវិទ្យាអស់។ ចឹងថ្ងៃនេះសុំដាក់គណិវិទ្យាខ្លះមើស៎!!!!….

សាកលំហាត់ខ្លះសិន

                                          លំហាត់សំរាប់សិស្សពូកែថ្នាក់ទី៩

1. គេឲ្យចតុកោណប៉ោង ABCD មួយមាន AC=AD។​ប្រៀបធៀប BC និង BD

2. គេឲ្យ a=2x+5 ​,  b=4x+3  ,  c=10x+4 ។ រកចំនួន​ x ដើម្បីឲ្យ a,b,c  ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយ។

3. រង្វង់ពីរ ផ្ចិត o  និង​ o' ប៉ះគ្នាត្រង់ A។ បង្ហាញថា A​ ត្រូវតែនៅលើអង្កត់​ \left[ OO' \right]

4. គណនាកន្សោម   A={{(\sqrt{16+\sqrt{31}}-\sqrt{16-\sqrt{31}}-\sqrt{2})}^{2011}}

5. គេឲ្យត្រីកោណ  ABC  មួយមានជ្រុង​  AB<AC និងមេដ្យាន BN និង CM ។  ប្រៀបធៀប​​  ​ BN  និង​ CM

6. គេមាន f(\frac{2x+1}{x-1})=x{}^\text{2}+2x  (x\ne 1)។ ចូរគណនា  f(x)

7. រង្វង់៣មានកាំ R ដូចគ្នាកាត់គ្នាត្រង់ A និង D ​​; B និង​ E ; C និង​ F ព្រមគ្នា។ ស្រាយថាផលបូកធ្នូ​  AB+CD+EF=180{}^\circ​ ។

8. គេអោយ \vartriangle PQR មានកំពស់ [PH] និងកន្លះបន្ទាត់ពុះ [QE)  នៃមុំ​Q  (E\in PR) ។ បង្ហាញថាបើ​មុំ \angle QEP=45{}^\circ   នោះ​ \angle EHR=45{}^\circ

9. ក្នុងថ្នាក់រៀនមួយមានសិស្សស្រីច្រើនជាងសិស្សប្រុស ១៥នាក់។រកចំនួនសិស្សប្រុស និងសិស្ស ស្រី បើគេដឹងថាសិស្សសរុបក្នុងថ្នាក់មានតិចជាង ៣៥នាក់ ហើយចំនួនសិស្សស្រីជា​ពហុគុណនៃ៧។

10. គេឲ្យត្រីកោណABCមួយមានកំពស់ [AK]  និង H ជាអរតូសង់។ D ជាចំនុចឆ្លុះនៃ H ធៀប​ (BC) ។ បង្ហាញថា D នៅលើរង្វង់ចារឹកក្រៅ \vartriangle ABC  រួចស្រាយថា KB\times KC=KH\times KA

11. ដោះស្រាយសមីការ (4x{}^\text{2}-6x+9){}^\text{2}-3(2x+3){}^\text{2}=2(8x{}^\text{3}+27)​។

12. រកតំលៃកន្សោម​  E=2009\times 2011(2010{}^\text{2}+1)({{2010}^{4}}+1)-{{2010}^{8}}

13. បង្ហាញថា x=\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}} ជាឬសមួយនៃសមីការដឺក្រេទីបី មានមេគុណជាចំនួនគត់។

14. ស្រាយបញ្ជាក់ថាបើ a,b,c ជារង្វាស់ជ្រុងទាំងបី និង S ជាក្រឡាផ្ទៃ​របស់​ត្រីកោណ នោះគេបាន​ {{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}\le 16{{S}^{2}}

15. គេឲ្យ M និង N ជាពីរចំណុចនៅលើជ្រុង BC នៃត្រីកោណ \vartriangle ABC មួយដែល BM=MN=NC។ បន្ទាត់ស្របនឹង AC ជួប AB ; AM និង AN ត្រង់ D ; E & F។ បង្ហាញថា EF=3DE

16. បុរសម្នាក់​ត្រូវការ​ផឹកទឹក​ចំនួន 700 cm3 ប៉ុន្តែ​គាត់មានកែវ​ ២ ដែល​កែវទី ១ មានចំណុះ 500 cm3 និង​កែវទី ២ មានចំណុះ 300 cm3 ។ តើបុរសនោះ​ត្រូវផឹកទឹក​យ៉ាងណា​ឲ្យបាន​ 700 cm3

17. ចូរបំពេញចន្លោះ​ក្នុង​ប្រមាណវិធី​ខាងក្រោម ដោយប្រើលេខ​ខុសៗគ្នា ពី ១ ដល់ ៥៖                                                                                                                                            

18. ឧបមាថា ចូរគណនា​តម្លៃ​នៃ​កន្សោម​៖

19. ក្នុងការប្រលង ​មុខវិជ្ជា​គណិតវិទ្យា​លើកទី ២ សិស្សម្នាក់​ទទួលបាន​ពិន្ទុ​លើសពិន្ទុ​ដែលគាត់​ទទួលបាន​លើកទី ១ ចំនួន 16 ពិន្ទុ សិស្សនោះ​សង្ឃឹមថា​ខ្លួន​នឹងបាន​ពិន្ទុ 88 នៅក្នុង​ការប្រលង​លើកទី ៣ ហើយពិន្ទុនេះ​នឹងដំឡើង មធ្យមភាគ​នៃ​ពិន្ទុប្រលង​ទាំង ៣ លើក​ដល់ 80 ពិន្ទុ។ តើ​សិស្សម្នាក់នេះ​ទទួលបាន​ពិន្ទុ​ប៉ុន្មាន​ខ្លះ នៅលើកទី ១ និង​លើកទី ២?

20. រកគ្រប់គូ ជាចំនួនគត់​រ៉ឺឡាទីប ដែល​ផ្ទៀងផ្ទាត់៖