ចំណាត់ក្រុម៖ គណិតវិទ្យា

លំហាត់តម្លៃដាច់ខាត – Absolute Value

______________________________________________________________________________________

កាត់ចេញពីសៀវភៅ « 3000 Solved Problems in Calculus»

Advertisements

លំហាត់ធរណីមាត្រកូអរដោនេ (Coordinate Geometry)

1. គេឲ្យចំនុចនឹងពីរ​ A(1; - 2);B(3;1) ។ រកសំណុំចំនុច P ដែលមានចំងាយស្មើពីចំនុច A និង B

2. គេឲ្យបីចំនុច O(0;0);A(4;0);B(1;5) ។ រកកូអរដោនេនៃចំនុចដែលមានចំងាយស្មើគ្នាពី O;A;B

3. \vartriangle ABC ដែល M  ចែក BC ខាងក្នុងតាមផលធៀប 1:2 ។ ប្រើកូអរដោនេបង្ហា្ថញថា 2A{B^2} + A{C^2} = 3A{M^2} + 6B{M^2}

4. គេឲ្យបីចំនុច A({x_1};{y_1});B({x_2};{y_2});C({x_3};{y_3}) ដែលជាកំពូលត្រីកោណ ABCG ជាទីប្រជុំទំងន់ត្រីកោណ ABC​ ។ស្រាយថាកូអរដោនេ G គឺ​ \displaystyle \left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3};\frac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3}} \right)

5. \vartriangle ABC ដែល D;E;F ជាចំនុចកណ្តាលរៀងគ្នានៃជ្រុង BC;CA;AB ដែល BD:DC=CE:EA=AF:FB ។ បង្ហាញថាទីប្រជុំទំងន់ត្រីកោណ ABC និង DEF ត្រួតស៊ីគ្នា។

6. រកសមីការរង្វង់ដែល៖

  • ក) មានផ្ចិត (-4;3) និងកាត់តាមគល់តម្រុយ
  • ខ) មានផ្ចិតនៅលើបន្ទាត់ y=-x ហើយកាត់តាមចំនុច (2;0);(0;4)

7. រកក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណមួយដែលខណ្ឌ័ដោយបន្ទាត់បី x+y-7=0 ; 2x-2y-1=0 និង x-4y+3=0

8. គេឲ្យបីចំនុច A({x_1};{y_1});B({x_2};{y_2});C({x_3};{y_3}) ហើយ G({x_0};{y_0}) ជាទីប្រជុំទំងន់ត្រីកោណ ABC និងចំនុច P(x;y) ។ ស្រាយថា P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} = 3P{G^2} + A{G^2} + B{G^2} + C{G^2}

9. បង្ហាញថាគ្រប់រង្វង់ទាំងអស់មានសមីការ {x^2} + {y^2} + Dx + Ey + F = 0

10. បង្ហាញថា ប្រសិនបើបន្ទាត់ L មានសមីការ Ax + By = C  នោះបន្ទាត់ M ដែលកែងនឹង L មានសមីការ - Bx + Ay = E

 

លំហាត់លើចំនួន

1.  ឧបមាថា a,b\& c គឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមានដែលអាចចែកដាច់នឹង 3 មានសំណល់ 0  .  1 និង 2 រៀងគ្នា។ ចូររកសំណល់នោះនៅពេលចែក

a + 2b + c និង {c^2} - c នឹង 3 ។

2.  បង្ហាញថា បើ m គឺជាចំនួនគត់រ៊ឺឡាទីប នោះ {m^2}  អាចចែកដាច់នឹង 3 ឬអាចចែកដាច់នឹង 3 ដែលមានសំណល់មួយ។

3.  ស្រាយបញ្ជាក់ថាផលគុណនៃចំនួនគត់ជាប់ពីរគឺជាចំនួនគូ។

4.  ស្រាយបញ្ជាក់ថាផលគុណនៃចំនួនគត់ជាប់បីគឺជាពហុគុណនៃ 6។

5.  ចំពោះចំនួនគត់វិជ្ជមាន m និង n ស្រាយបញ្ជាក់ថា {m^3}n - m{n^3} ជាពហុគុណនៃ 6 ។

6.  ចំពោះចំនួនគត់វិជ្ជមាន n ស្រាយបញ្ជាក់ថា {n^5} - n ជាពហុគុណនៃ 30 ។

7.  ចំពោះចំនួនគត់វិជ្ជមាន n ស្រាយបញ្ជាក់ថា {n^7} - n គឺជាពហុគុណនៃ 7 ។

___________________________

លំហាត់លើវិសមភាព

1. គេឲ្យ a,b,c,d ជាចំនួនវិជ្ជមាន ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖

    • ក) \displaystyle \frac{{a + b + c + d}}{4} \geqslant \root 4 \of {abcd}
    • ខ) \displaystyle \frac{{a + b + c}}{3} \geqslant \root 3 \of {abc}

2.  ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖ {a^2} + {b^2} + 1 \geqslant ab + a + b

3. ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖ {a^2}(1 + {b^2}) + {b^2}(1 + {c^2}) + {c^2}(1 + {a^2}) \geqslant 6abc

4.  បើ \cos x \geqslant 0 ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖

  • ក) \cos x \geqslant \cos 2x
  • ខ) \cos x \geqslant \cos 3x

5.  ស្រាយថា ចំពោះ a > 0,b > 0,c > 0 គេបាន៖  6abc \leqslant ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) \leqslant 2({a^3} + {b^3} + {c^3})

6. a,b,c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណមួយ ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖ abc \geqslant (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)

7.  ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖ \displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times ....... \times \frac{{2n + 1}}{{2n}} \leqslant \frac{1}{{\sqrt {2n} }}

8.  ស្រាយបញ្ជាក់ថា បើ \left| a \right| > 2\left| b \right| នោះគេបាន \left| a \right| < 2\left| {a - b} \right|

9. a > b > 0 និង m > n(m,n \in {\Bbb N}) ស្រាយបញ្ជាក់ថា \displaystyle \frac{{{\text{ }}{a^m} - {\text{ }}{b^m}}}{{{\text{ }}{a^m} + {\text{ }}{b^m}}} > \frac{{{\text{ }}{a^n} - {\text{ }}{b^n}}}{{{\text{ }}{a^n} + {\text{ }}{b^n}}}

10.  គេឲ្យ x + y = 1 ។ ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖  \left| {2x + 3y} \right| \leqslant \sqrt {13}

11. A,B,C ជាមុំក្នុងត្រីកោណមួយ ស្រាយបញ្ជាក់ថា៖

  • a).\sin A + \sin B + \sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{2}
  • b).\sin A \times \sin B \times \sin C \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{8}
  • c).\sin \frac{A}{2} \times \sin \frac{B}{2} \times \sin \frac{C}{2} \leqslant \frac{1}{8}
  • d).\cos A + \cos B + \cos C \leqslant \frac{3}{2}
  • e).\cos A \times \cos B \times \cos C \leqslant \frac{1}{8}
  • f).{\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C \leqslant \frac{9}{4}
  • g).\cos \frac{A}{2} + \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{C}{2} \leqslant \frac{{3\sqrt 3 }}{8}
  • h).\cos A + \cos B + \cos C > 1
  • i).t{g^2}\frac{A}{2} + t{g^2}\frac{B}{2} + t{g^2}\frac{C}{2} \geqslant 1

12.  ប្រៀបធៀបចំនួន៖ \frac{{8.000009}}{{{{7.000009}^2} + 8.000009}} និង \frac{{8.000007}}{{{{7.000007}^2} + 8.000007}}

សាកគិតលំហាត់ទាំងនេះមើល៎…

I. គេធ្វើអង្កេតពីការអានទស្សនាវដ្តី ៣: a , b , c បានលទ្ធផលដូចតទៅ: ក្នុង 1000 នាក់ មាន 600 នាក់អាន a    500 នាក់ អាន b ​​   500 នាក់អាន c    200 នាក់ អាន b និង c     300 នាក់ អាន c និង a     300 នាក់អាន a និង b ហើយ 100 នាក់អាន a, b, c។ តើក្នុង 1000 នាក់នេះ មានប៉ុន្មាននាក់អានទស្សនាវដ្ដី 2 គត់?

II. នៅវិទ្យាល័យមួយមានសិស្ស 800 នាក់បានចុះឈ្មោះរៀន ភាសាអង់គ្លេស សិស្ស 500 នាក់ចុះឈ្មោះរៀនភាសាបារាំង និងសិស្ស 200 នាក់ចុះឈ្មោះរៀនភាសាទាំងពីរ។

    1. តើសិស្សទាំងអស់ប៉ុន្មាននាក់បានចុះឈ្មោះរៀនភាសា?
    2. តើសិស្សប៉ុន្មាននាក់រៀនតែភាសាអង់គ្លេស?
    3. តើសិស្សប៉ុន្មាននាក់រៀនតែភាសាបារាំង?

                                                                  ________________________________